БиоСтатистика — 01. Содержание курса. Тема 1. Основные понятия биостатистики

←

D. Shabanov, M.A. Kravchenko. Статистичний аналіз даних у зоології та екології

→

Зміст курсу.
Тема 1. Основні поняття біостатистики

Тема 2. Використання програми Statistica

Біостатистика‑01

Біостатистика‑02

Зміст
 
Тема 1. Основні поняття біостатистики
1.1. Що таке біостатистика і навіщо вона потрібна
1.2. Ймовірність
1.3. Генеральна сукупність і вибірка
1.4. Що таке значимість? Жартівливий приклад
1.5. Статистична значимість; нульова і альтернативна гіпотези
1.6. Признаки
1.7. Розподіли, статистики і параметри
1.8. Параметричні і непараметричні статистичні методи і критерії
Тема 2. Використання програми Statistica
2.1. Чому саме Statistica?
2.2. Програма Statistica
2.3. Структура таблиці даних Statistica
2.4. Дії з виділеними клітинками
2.5. Робота з рядками і стовпцями
2.6. Специфікації змінних
2.7. Числова і текстова форми даних
2.8. Формули для перерахунку даних
Тема 3. Візуалізація даних (на прикладі результатів опису зелених жаб)
3.1. Опис файлу‑прикладу Pelophylax_example.sta
3.2. Гістограми: приклад побудови графіків
3.3. Редагування графіка
3.4. Діаграми розсіювання і лінії регресії
Тема 4. Порівняння вибірок
4.1. У яких ситуаціях може знадобитися порівнювати вибірки?
4.2. Порівняння вибірок за Стьюдентом
4.3. Використання критерію Фішера для порівняння вибірок
4.4. Діаграми розмаху в модулі t‑тесту
4.5. Проблема множинних порівнянь
4.6. Експеримент з отриманням хибно «значимих» відмінностей при множинних порівняннях
4.7. Поправки на множинні порівняння
4.8. Непараметричні аналоги параметричних методів
4.9. U‑критерій Манна‑Уїтні
4.10. Критерій знаків для парних порівнянь
4.11. Ранговий дисперсійний аналіз Краскела‑Уолліса
Тема 5. Коротке введення в дисперсійний аналіз
5.1. Що таке дисперсійний аналіз?
5.2. Тест на нормальність розподілу
5.3. Однофакторний дисперсійний аналіз: обчислення «вручну»
5.4. Однофакторний дисперсійний аналіз (ANOVA) у пакеті Statistica
5.5. ANOVA і критерії Стьюдента і Фішера: що краще?
5.6. Два однофакторних дисперсійних аналізи: обчислення «вручну»
5.7. Двохфакторний дисперсійний аналіз: обчислення «вручну»
5.8. Двохфакторний аналіз за допомогою ANOVA у пакеті Statistica
Тема 6. Порівняння розподілів
6.1. Приклади проблем, що вимагають порівняння розподілів
6.2. Визначення зв’язку якісних ознак за допомогою крос‑табуляції
6.3. Порівняння розподілів за допомогою модуля непараметричної статистики
Тема 7. Зв’язок між ознаками
Тема 8. Кластерний аналіз
8.1. Сутність кластерного аналізу
8.2. Приклад виконання кластерного аналізу «на пальцях»
8.3. Принципові обмеження і недоліки кластерного аналізу
Тема 9. Метод головних компонент
9.1. Сутність методу (на найпростіший приклад)
9.2. Перехід до початкових даних з великою кількістю вимірювань
Тема 10. Дискримінантний аналіз
10.1. Призначення і основна логіка дискримінантного аналізу
10.2. Приклад виконання дисперсійного аналізу: морфометричні ознаки жаб
10.3. Пошук більш ефективних способів розподілу груп
Тема 11. Деякі методи, характерні для зоології та екології
11.1. Аналіз флуктуючої асиметрії
11.2. Приклад аналізу даних про флуктуючу асиметрію
Програма розділу великого практикуму «Статистичний аналіз даних у зоології та екології»
Додаткові матеріали:
M. A. Ghazali. Статистичні методи в зоології. Матеріали відкритих лекцій, прочитаних в Інституті зоології імені I.I. Shmalhausen у 2017/2018 навчальному році для аспірантів 1‑го курсу
Лекція 1. Статистичне дослідження
Лекція 2. Статистичні оцінки
Лекція 3. Елементарні тести
Лекція 4. Лінійні моделі
Лекція 5. Багатовимірна статистика (частина)
Презентації
D. Shabanov (2006). Лож, нахабна брехня і…
D. Shabanov (2009). Кластери, клада і хімера об’єктивності
K. P. Vorobyov (2008). «Формат сучасної журнальної публікації за результатами клінічного дослідження. Частина 4. Біостатистика»
Перспективні теми для розширення курсу:
Використання СУБД Microsoft Access для створення зоологічних баз даних.

Тема 1. Основні поняття біостатистики
1.1. Що таке біостатистика і навіщо вона потрібна
Статистичний аналіз результатів біологічних досліджень дозволяє вирішувати кілька типів завдань:
1. наочно представляти результати опису різноманіття вивчених об’єктів;
2. обґрунтовано (з певною ймовірністю помилки) приймати або не приймати припущення про наявність закономірностей, що відображаються у варіації вивченої величини;
3. виявляти неявні закономірності, приховані у варіації вивчених даних.
Не слід думати, що існує якась особлива біологічна статистика, принципово відмінна від математичної статистики взагалі. Однак змінливість біологічних об’єктів має певні особливості, що відрізняють її, наприклад, від змінливості фінансових показників або результатів технологічних процесів у виробництві. Це призводить до того, що набір методів, що використовуються в біології, відрізняється від такового в інших галузях застосування статистики. Крім того, слід пам’ятати, що статистичне дослідження в біології не є самою метою: воно підпорядковане завданням біологічного дослідження і не може бути повністю інтерпретовано поза вивченою біологічною проблемою. Однак не лише аналіз даних має бути підпорядкований логіці біологічного дослідження; він і сам має будуватись з урахуванням майбутнього аналізу. Збір емпіричних даних і постановка експериментів мають заздалегідь враховувати, як саме буде організований аналіз отриманих даних. Отже, хоча застосування статистики в біології неможливо повністю відокремити від математичної статистики як такої або вивчення за допомогою тих чи інших методів розділів біології, воно все ж становить особливу галузь науки, особливий комплекс проблем і способів їх вирішення. Для цієї галузі можна вживати термін, запропонований у 1899 році Френсісом Гальтоном — біометрія. Оскільки термін «біометрія» перехопили фахівці з ідентифікації особистості на підставі індивідуальних ознак, у багатьох випадках простіше виявляється вживати термін біостатистика.
Об’єкти, які вивчає біологія, володіють високим рівнем унікальності. Практично у будь‑якому біологічному феномені проявляються як загальні закономірності, так і вплив особливих обставин, часто пов’язаних з тією чи іншою унікальністю біосистем. Це означає, що для біологічних досліджень дуже важливі методи, що дозволяють побачити загальні закономірності, що проявляються за змінливістю часткових проявів. Можливо, тому біологи внесли великий внесок у розвиток статистики в цілому. Результати робіт Френсіса Гальтона, Карла Пірсона, Рональда Фішера становлять важливу частину не лише біостатистики, а й математичної статистики в цілому.

1.2. Ймовірність
Статистично можна вивчати повторювані події. Наприклад, ми всліпуючі вибираємо кроликів із ящика. Кролики можуть бути чорними або білими. Кожен вибір — елементарна подія. Людина засовує руку в отвір ящика і хапає там якогось кролика… Чи можна дізнатись, якого кролика вона схопила? Ні (якщо немає інших джерел отримання інформації і інших факторів, що впливають на результат). Чи можемо ми дізнатись, яке співвідношення чорних і білих кроликів у ящику? Теж ні.
Як тільки кролик буде витягнутий назовні, ми не просто дізнаємось, якого він кольору. Ми зможемо щось дізнатись про склад кроликів у ящику. Наприклад, якщо витягнутий білий кролик, ми можемо стверджувати, що в ящику був принаймні один білий кролик. Трохи… Однак якщо послідовно витягнути 10 кроликів, за складом групи кроликів, що збираються у ногах витягуючого їх людини, можна висловити більш детальне припущення про склад кроликів у ящику. Ці передбачення базуються на феномені ймовірності, що проявляється у регулярних, повторюваних подіях. Ймовірність – числова міра можливості події. Ймовірність 1 означає, що подія відбудеться напевно, а ймовірність 0 – що вона неможлива.
Припустимо, у ящику 50 білих і 50 чорних кроликів. Яка ймовірність випадково вибрати білого кролика при однократному виборі? З загальної кількості можливих результатів (100) цьому умові відповідає 50, отже ймовірність — 50/100 = 1/2 = 0,5.
А чи треба розглядати варіант, що, наприклад, у витягнутій з ящика руці не було жодного кролика або, скажімо, два? У реальному житті — треба, а в її спрощеній моделі, до якої можна застосувати апарат основ теорії ймовірностей — можна і не враховувати. Ті випадки, коли людина не діставала жодного кролика або дістає одразу двох, не відповідають умовам однократного вибору. Проте, якби читач цього тексту засунув руку в справжній ящик, заповнений ухилюваними і лягаючими кроликами, ймовірність, що він нічого не витягне, не можна було б ігнорувати.
А яка ймовірність вибрати двох кроликів одного кольору? Може здатися, що 0,5, хоча насправді менше. Після того, як обраний кролик певного кольору, ймовірність вибору другого такого же становить 49/99 проти 50/99. Отже, ймовірність вибору двох кроликів одного кольору становить 49/99 = 0,4949…, а двох білих — 0,24747…

1.3. Генеральна сукупність і вибірка
Генеральна сукупність — дійсна або гіпотетична сукупність усіх об’єтів з технологією з‑вивченням категорії. У більшості випадків вивчати генеральну сукупність неможливо, і дослідники працюють з вибірками (емпіричними сукупностями, вибірковими сукупностями) — групами об’єктів, отриманих із генеральної сукупності.
Обсяг генеральної сукупності визначається задачею дослідження (і може суттєво змінюватись при його переформулюванні). Порівняння росту юнаків і дівчат у групі, що вивчає біометрію, може бути дослідженням саме цього групи (при цьому підпада під всю генеральну сукупність), дослідженням студентів конкретного університету (генеральна сукупність при цьому хоча б кінцево‑законний). Студентів взагалі чи людей взагалі (у останніх випадках генеральна сукупність, принаймні гіпотетична, виявляється потенційно безконечна).
Сущеальний парадокс статистики полягає в тому, що дослідник працює з вибірками, а вивчає при цьому сукупності, звідки ці вибірки отримані.
Чи можна за вибіркою судити про генеральну сукупність, яка суттєво ширша цієї вибірки? У певній мірі, так. Проте, зрозуміло, що не всяка вибірка відображає склад генеральної сукупності, з якої вона отримана. Чи можна брати вибірку, за якою судити про змінливість росту людей, із числа студентів? Ні, оскільки в цю вибірку потраплять люди переважно молодого віку, які захотіли отримати вищу освіту і змогли вступити до відповідного вузу. Така вибірка є зміщеною. Щоб отримати повністю випадкову вибірку, слід було б організувати процес її формування таким чином, щоб будь‑який з об’єктів у складі генеральної сукупності мав однакову ймовірність потрапити у вибірку. У більшості випадків такий відбір практично неосуществимий. Тим не менш, для вивчення генеральної сукупності слід використовувати лише репрезентативні (представницькі) вибірки, при формуванні яких відхилення від випадкового характеру при їх формуванні не можуть призвести до суттєвого зміщення вибірки.
Неслучайність формування вибірок, з якими працює біолог, є однією з постійних (і повністю невиправних) проблем при біологічному дослідженні. Уявіть собі, що нам треба не доставати чорних і білих кроликів із ящика, а визначати їх співвідношення в тому чи іншому місці проживання. Як це зробити? Наприклад, вийти в поле і підрахувати попадаючих на шляху дослідника кроликів того і іншого кольору. Однак на чорній пахоті більш помітними виявляться білі кролики, а після випаду снігу — чорні. Можливо, варто не покладатися на зір дослідника, і ловити кроликів пастками? Однак якщо білі кролики є альбіносами, вони можуть мати гірше зір, ніж чорні, і частіше потрапляти в пастки. Вибірка кроликів, які спостерігалися під час маршрутного обліку, і вибірка кроликів, які потрапили в пастки, не є повністю репрезентативними для оцінки генеральної сукупності кроликів, що населяють вивчувану територію.
Тепер уявіть, що зоолог намагається оцінити склад популяції спритних ящірок. Він відвідав місце проживання цієї популяції в похмурий вітряний день, перед яким кілька днів підряд йшов дощ. У таку погоду на поверхню для пошуку корму вийшли лише молоді особини і вагітні (виношують зрілі яйця) самки (ті особини, які відчувають особливо сильний голод). Дослідник зібрав кілька особин, які здалися йому «типовими», а також ще кілька екземплярів, які зацікавили його своєю незвичністю. Під час подальшого аналізу він буде судити про властивості вивченої генеральної сукупності (ящірок даної популяції) на підставі властивостей наявної у нього вибірки. На жаль, жодними методами статистичного аналізу повністю виправити зміщення такої вибірки буде неможливо.

1.4. Що таке значимість? Жартівливий приклад{"translated":"Розглянемо жартівний приклад. Усім відомий фокус, при якому фокусник дістає з капелюха кролика (рис. 1.4.1). Звідки береться витягнутий фокусником кролик? Невідомо… Можна уявити, що капелюх — «вхід» у якийсь аналог ящика з кроликами, подібний до того, на прикладі якого ми обговорювали поняття ймовірності. Процедуру витягування кроликів з капелюха можна порівняти з отриманням вибірки з генеральної сукупності. Вибіркою є витягнуті кролики (можливо — один, можливо — більше, один за іншим), а генеральною сукупністю — кролики в тому «магічному просторі», з якого вони витягуються.\n\nРис. 1.4.1. Що ми можемо стверджувати про те «магічне простір», з якого фокусник витягнув кролика (т. е. що ми в даному випадку можемо дізнатися про генеральну сукупність за отриманою нами вибіркою)?\nТам був принаймні один білий кролик…\nПрипустимо, фокусник витягує кроликів навмання: що схопить рука, засунута в капелюх, те він і виверне. Просунувши руку в один капелюх, він вивернув білого кролика, а просунувши в інший — чорного (рис. 1.4.2).\n\nРис. 1.4.2. З іншого капелюха з’явився інший кролик, чорний… У тому просторі, куди веде права капелюх, був, принаймні, один чорний кролик. А два капелюхи ведуть в один простір, чи в різні (іншими словами, дві вибірки отримані з однієї генеральної сукупності або з різних)?\nУ нас недостатньо підстав для вибору одного з цих варіантів. Можливо, дві вибірки отримані з однієї генеральної сукупності, де є і чорні, і білі кролики, а можливо — з різних сукупностей.\nЧи можемо ми за складом кроликів з двох вибірок, що відповідають двом капелюхам, встановити, чи вони отримані з однієї генеральної сукупності? Іноді отримані нами дані марні для вибору якоїсь з взаємовиключних можливостей, а іноді вони можуть стати підставою для обґрунтованих припущень (рис. 1.4.3).\n\nРис. 1.4.3. Інформації для прийняття рішення стало більше…\nЯкщо ми приймемо, що через два капелюхи фокусник дотягується до двох різних сукупностей кроликів, нам не знадобиться жодних додаткових припущень. Якщо обидві вибірки отримані з однієї генеральної сукупності, нам доведеться припустити, що реалізувався не найймовірніший варіант.\nЯка ймовірність того, що фокусник отримає в одній вибірці два білі кролики, а з іншої — два чорні, якщо він бере їх з однієї генеральної сукупності? Яке ми можемо очікувати співвідношення білих і чорних кроликів у генеральній сукупності (якщо вона одна)? Ми точно знаємо, що там є і білі, і чорні, а їх співвідношення ми можемо оцінити за об’єднаною вибіркою (ми, у цьому випадку, припускаємо, що відмінності між кроликами з різних капелюхів — наслідок лише випадковості). Найймовірніший варіант — білих і чорних порівнень, оскільки саме це відповідає загальній отриманій вибірці.\nЗасунувши руку вперше в один з капелюхів, фокусник витягнув якогось кролика. Показаний на рис. 1.4.3 варіант реалізується в тому випадку, якщо з цього капелюха буде витягнутий кролик того ж кольору (т. е. відбудеться подія, ймовірність якої ми оцінили як ½), а з іншого капелюха двічі підряд будуть витягнуті кролики іншого кольору (т. е. відбудуться два незалежних події, ймовірність кожної з яких — також ½). Таким чином, таке розподілення, як на рисунку, відбудеться в випадку загального простору лише в одному випадку з восьми спроб. Ймовірніше припустити, що сукупності кроликів різні, хоча, звичайно, для того, щоб відкинути припущення про те, що кролики беруться з однієї загальної сукупності, підстав у нас недостатньо…\nВтім, можливі випадки і складніші (рис. 1.4.4)…\n\nРис. 1.4.4. Інформації ще більше, але розрахунок ймовірності не такий тривіальний, як у попередньому випадку.\nЗагальне співвідношення білих і чорних кроликів залишається однаковим. Ймовірність того, що в одній вибірці співвідношення виявиться 1 до 3, а в іншій — 3 до 1 (без урахування того, у якому порядку витягувалися кролики в кожній вибірці) виявляється такою ж, як і в попередньому прикладі: при заданих розмірах вибірок показаний на рисунку результат спостерігається в одному випадку з восьми.\nА як зміняться наші оцінки, якщо вибірки стануть більшими, а відмінності між ними — наочнішими (рис. 1.4.5)?\n\nРис. 1.4.5. У цьому випадку на питання, в одне «магічне простір» запускає фокусник руки через різні капелюхи, чи в різні, можна дати досить ймовірну відповідь: у різні. Якби простір був один, розподіл на 10 кроликів одного кольору в одній вибірці і 10 кроликів іншого кольору — в іншій, міг би спостерігатися лише в одному випадку з 524 288 спроб.\nЯкщо вибірки кроликів, отримані через два капелюхи, сильно відрізняються (з одного капелюха — 10 білих, з іншого — 10 чорних), майже напевно фокусник витягує кроликів з різних сукупностей. Ймовірність такого результату — одиниця, поділена на 219. Відкинувши припущення про таку неймовірну подію, ми майже напевно не помилимося. Отже, можна прийняти: у випадку, показаному на рис. 1.4.5, капелюхи ведуть у різні простори. Однак важливо пам’ятати: ми не довели різницю просторів, у які ведуть капелюхи, а лише отримали підстави з високою ймовірністю припускати їх відмінність.\nМожна було б припустити, що в тому випадку, якщо вибірки не відрізняються за складом (рис. 1.4.6), ми могли б прийняти протилежне рішення, і припустити, що обидва капелюхи є порталами для потрапляння в одне й те саме місце. Однак таке рішення було б неправильним. Ми встановили лише те, що припущення про однакове співвідношення білих і чорних кроликів у сукупностях, до яких ведуть права і ліва капелюхи на рис. 1.4.6, цілком ймовірне з точки зору порівняння витягнутих з них кроликів. Але у нас немає жодних підстав вибирати між припущеннями про те, що це два різних простори з однаковим складом, або ж що це одне загальне простір.\n\nРис. 1.4.6. Чи узгоджується спостережувана в цьому випадку картина з тим припущенням, що через праву і ліву капелюхи фокусник засовує руки в різні «магічні простори»? Цілком узгоджується!\nОтже, випадок на рис. 1.4.5 дає підстави для певного висновку, а випадок на рис. 1.4.6 — ні! Це — відображення загальної закономірності: порівнюючи дві вибірки, ми іноді можемо довести, що вони походять з різних генеральних сукупностей (т. е. обґрунтувати, що протилежний висновок є надзвичайно малоймовірним), але не можемо довести, що вони походять з однієї сукупності! Втім, можна обґрунтувати, що відмінність між сукупностями, з яких взяті дві вибірки, з тією чи іншою ймовірністю не перевищує певного рівня…\nУ випадку порівняння вибірок, який ми розглядали в цьому прикладі, ймовірність того, що вибірки отримані з однієї сукупності і відмінності між ними є наслідком випадковості, називається статистичною значимістю припущення про те, що генеральні сукупності, з яких отримані вибірки — різні. В інших випадках (наприклад, при вивченні зв’язку між змінністю двох ознак) статистична значимість визначається аналогічно — це ймовірність того, що зареєстрований ефект є наслідком випадковості. Коротко можна сформулювати наступне: рівень значимості — це ймовірність того, що зареєстровано просто результат випадковості при формуванні вибірки.\nЩо означає фраза «результат статистично значимий»? Вона означає, що випадкове виникнення цього результату дуже малоймовірне, що у нас є всі підстави вважати результат не випадковим, що відображає особливості того, що ми вивчаємо.\n\n1.5. Статистична значимість; нульова і альтернативна гіпотези\n\nЩоб формалізовувати подібні логічні вибори, прийнято формулювати дві гіпотези, вибір між якими треба зробити в ході статистичного дослідження.\nНульова гіпотеза (H0) стверджує, що між сукупностями, з яких взяті вибірки, немає відмінностей (а різниця між вибірками — наслідок випадковості під час їх формування).\nАльтернативна гіпотеза (H1) стверджує, що відмінності між вибірками відображають відмінності між сукупностями, звідки вони отримані.\nОднозначно вибрати одну з цих можливостей неможливо, і завжди зберігається можливість помилки. Потрібно за наявними даними про склад вибірок оцінити ймовірність справедливості нульової і альтернативної гіпотез і вибрати оптимальне рішення. Для цього вибору використовуються статистичні критерії — правила, що дозволяють робити такий вибір.\nНульова і альтернативна гіпотеза можуть бути ненаправленими (важливий сам факт відмінності між сукупностями, звідки взяті вибірки), а можуть бути і направленими (наприклад, важливо, що певний вплив підвищує значення ознаки; у сукупності об’єктів, підданих впливу, значення ознаки вище). Наприклад, коли ми визначаємо, чи стать впливає на довжину хвоста, ми можемо розглядати як приклади такого впливу і випадок, коли хвіст у самок довший, ніж у самців, і випадок, коли він коротший. Коли ми визначаємо, «працює» чи новий препарат, випадки, коли він сприяє одужанню і коли він перешкоджає одужанню, сприймаються зовсім різними. Альтернативна гіпотеза має полягати саме в тому, що препарат сприяє одужанню. Отже, у першому випадку слід застосовувати ненаправлені критерії, а у другому — направлені.\nРівень статистичної значимості — це ймовірність того, що ми визнали відмінність суттєвою (прийняли альтернативну гіпотезу), а вони насправді випадкові. Можна визначити рівень статистичної значимості як ймовірність того, що, прийнявши альтернативну гіпотезу в ситуації, коли насправді вірна нульова гіпотеза, ми здійснили помилку I роду. Помилкою II роду називається прийняття нульової гіпотези, коли вірна альтернативна. Зазвичай помилки I роду виявляються більш небезпечними. Ймовірність помилки першого роду позначається як α; другого роду — як β. Відповідно потужність критерію можна визначити як = 1 — β.\nЧасто доводиться спостерігати приклади неправильного вживання слів «достовірність» і «значимість». Поняття «статистична значимість» (або просто «значимість») має чітке математичне трактування. Статистична значимість (significance) певного результату (наприклад, реєстрації різниці між групами даних або зв’язку між двома змінними) — низька ймовірність його випадкового виникнення. Твердження «дві вибірки відрізняються статистично значимо» означає, що ймовірність їх отримання з однієї сукупності настільки низька, що можна вважати доведеним їх отримання з різних сукупностей. «Достовірність» — значно ширше поняття, яке може використовуватись у найрізноманітніших сферах (від юриспруденції до філософії) і не має математичного визначення. Його використовують для позначення обґрунтованого, доказового знання. Твердження «висновки дисертації достовірні» означає, що вони обґрунтовані логікою побудови та викладу матеріалу. Запам’ятайте: достовірні висновки робляться на підставі статистично значимих результатів!\nДо речі, при неправильній організації експерименту або при помилках інтерпретації недостовірні висновки можуть посилатися на безліч статистично значимих феноменів...\nУ більшості джерел прийнято говорити просто про «рівень значимості». Це в жодному разі не є помилкою, і таке слововживання цілком допустиме. Однак, виходячи з того, що даний текст має навчальний характер, його автор буде намагатися у всіх випадках використовувати повну формулювання: поняття «статистична значимість»; так простіше нагадувати про його статистичну природу.\n1.6. Ознаки\nПри описанні якихось об’єктів дослідники фіксують значення тих чи інших ознак — характеристик, за якими порівнювані об’єкти можуть відрізнятися один від одного. Ознаки можуть мати різну природу.\nТаблиця 1.6.1. Категорії ознак\n\nКатегорії ознак | Виражається | Приклад\n--- | --- | ---\nКількісні | Метричні (континуальні, вимірювальні) | Число з неперервного ряду – Довжина тіла жаби\nМеристичні (дискретні, підрахункові) | Ціле число – Кількість смуг на гомілці\nРангові (порядкові) | Ціле число (ранг), причому різниця між рангами не є мірою відмінності між самими об’єктами – Ранг довжини пальців передньої кінцівки (1 – найдовший, 2 – наступний за довжиною тощо)\nЯкісні (атрибутивні) | Множинні (номінальні, політомічні) – Визначена якість з певного набору – Колір спини\nАльтернативні (дихотомічні) – Один стан з двох можливих (є – немає) – Наявність дорзомедіальної смуги\nОзнаки з різних груп відрізняються за своїми властивостями. Наприклад, особина, у якої 4 смуги на гомілці, відрізняється від особини з 3 смугами настільки ж, наскільки особина з 3 смугами відрізняється від особини з 2 смугами. У той же час щодо особин, які відрізняються за рангом довжини першого пальця на передніх кінцівках, неможливо сказати, наскільки пальець особини з рангом 4 коротший, ніж у особини з рангом 3, а різницю між особинами з рангом 4 і 3 неможливо порівняти з різницею між особинами з рангами 3 і 2.\nОтже, ознаки – це характеристики, за якими об’єкти можна порівнювати один з одним. Результат опису особини за якоюсь ознакою називається значенням цієї ознаки або просто значенням. При роботі з комп’ютерною програмою те, що записується в окрему клітинку таблиці даних, найпростіше називати терміном «значення» (хоча існують і інші варіанти, наприклад, «дата»).\n\n1.7. Розподіли, статистики та параметри\nРозподіл — функція, що описує ймовірність тих чи інших значень випадково варіуючої величини. Те, що монета може з рівною ймовірністю впасти орлом або решкою, задає розподіл результатів падіння монети.\nВипадкові величини (і їх розподіли) можуть бути дискретними і неперервними. Кількісні та підрахункові ознаки мають дискретні розподіли, метричні — неперервні.\nВибірки можна описувати, припускаючи, що розподіл величин у них підпорядкований якому‑небудь закону, характерному для генеральної сукупності, з якої вона отримана.\nПрипустимо, вивчена вибірка охарактеризована результатами якихось вимірювань. Для вибірки можна обчислити її середнє значення. Якщо вибірка повністю описана, її середнє можна визначити досить точно. На підставі вибіркового середнього можна з певною точністю судити про середнє значення генеральної сукупності, звідки ця вибірка отримана.\nМатематичні величини, що характеризують вибірку, називаються статистиками і позначаються латинськими літерами; що характеризують генеральну сукупність — параметрами і позначаються грецькими літерами.\nУ типічному випадку у ході біометричного дослідження за статистиками вибірки судять про математичні величини, що характеризують генеральну сукупність — її параметри.\nТаблиця 1.7.1. Найпоширеніші статистики та відповідні їм параметри генеральної сукупності\n\nСтатистики | Параметри\n--- | ---\nЧисельність вибірки — n.\nСереднє арифметичне — , \nГенеральне середнє — \nСтандартне відхилення — s; \nГенеральне стандартне відхилення — "}{"translated":"Середнє арифметичне (Mean)  , де   — середнє арифметичне досліджуваної величини x ;  n — число елементів у вибірці; xi  — окремі значення величини x, від x1 до xn. Окремі , отримані для різних вибірок, можна розглядати як вибіркові оцінки генерального середнього  (середнього арифметичного генеральної сукупності, що включає всю сукупність об’єктів, представлених досліджуваною вибіркою).\nВаріанси, середньоквадратичне відхилення (Variance). Середньоквадратичне відхилення генеральної сукупності могло б бути обчислене як  , але для такої оцінки треба було б перебрати всі елементи генеральної сукупності. Насправді цей параметр завжди визначається для певної вибірки, у яку, швидше за все, не потраплять найрідкісніші та найвідхиленіші від середнього значення. Отже, вибіркове середньоквадратичне відхилення, яке позначається як s2, треба обчислювати з поправкою. Для цього використовується формула  . Показник df=n-1  отримав назву числа ступенів свободи. Можна вважати, що при відомому  можна змінювати значення всіх елементів вибірки, крім останнього (тобто їх кількості, рівної n-1): коли визначені всі інші значення і середнє, останнє значення вибірки однозначно визначається цими величинами.\nПо‑українськи варіансу часто називають дисперсією (від лат. dispersio — розсіяння; звідси і походить назва дисперсійного аналізу). Іноді вказують, що термін дисперсія слід застосовувати лише для позначення самого факту розсіяння окремих значень навколо середнього, а описану міру називати, за аналогією з англійською, варіанcою. Варіанса є квадратом стандартного відхилення (Standard Deviation), яке позначається s і обчислюється, природно,  .\nІнколи використовуються й інші статистики, що характеризують вибірки. До їх числа можна віднести розмах (різницю між мінімальним і максимальним значенням), медіану (значення, яке знаходиться рівно в середині впорядкованого ряду елементів вибірки, так, що половина елементів вибірки менша за це значення, а інша половина — більша), моду (найбільш чисельний клас значень у вибірці), середнє лінійне відхилення, середнє геометричне тощо. Хороший аналіз цих і інших статистик знаходиться тут.\nВідповідно до закону великих чисел, що походить від Я. Бернуллі (1713) і доведеного П.Л. Чебишевим у XIX ст., зі збільшенням розміру вибірки вибіркові статистики прямують до параметрів генеральної сукупності. Чим менша вибірка, тим імовірніше відхилення вибіркових статистик від параметрів генеральної сукупності.\nЯкщо на метричну ознаку впливає багато випадкових факторів, вона набуває нормального розподілу. Графічно цей розподіл описується нормальною кривою, яка однозначно задається лише двома параметрами:  і .\nУ нормальному розподілі збігаються середнє, медіана і мода. 99,7% спостережуваних значень при нормальному розподілі знаходяться в межах  (правило трьох сигм).\nЕмпіричні розподіли можуть нагадувати нормальні, хоча й відрізняються від них. Найпоширеніші відмінності — асиметрія та ексцес.\n\n1.8. Параметричні та непараметричні статистичні методи і критерії\nСтатистичні критерії (правила, що дозволяють зробити вибір між нульовою та альтернативною гіпотезою) можна поділити на параметричні (ті, у процедурі яких передбачається, що порівнювані вибірки отримані з генеральних сукупностей з певним, найчастіше нормальним, розподілом) та непараметричні, вільні від параметрів (не вимагають жодних припущень щодо характеру розподілу досліджуваних сукупностей). Отже, якщо ми не знаємо, як розподілені порівнювані нами величини, \"за замовчуванням\" можна використовувати непараметричні методи. Проте більшість непараметричних методів мають меншу потужність (1 — β, де β — ймовірність \"пропустити\" різницю, прийняти нульову гіпотезу в той час, коли істинна альтернативна), ніж параметричні (і це природно, адже параметричні методи вже щось \"знають\" про розподіли порівнюваних величин)."}