БиоСтатистика — 05. Тема 4. Сравнение выборок

←

D.A. Shabanov, M.A. Kravchenko. Статистичний аналіз даних у зоології та екології

→

Тема 3 (продовження). Робота з графіками

Тема 4. Порівняння вибірок

Тема 4 (продовження). Багатократні порівняння

Біостатистика-04

Біостатистика-05

Біостатистика-06

Тема 4. Порівняння вибірок
4.1. У яких ситуаціях може знадобитися порівнювати вибірки?
Значна частина статистичних досліджень відповідає одній простій схемі. Дуже часто потрібно встановити, чи належать дві вибірки до однієї генеральної сукупності, чи до різних. Наведемо приклади таких досліджень.
— Зібрані вибірки певних тварин з ряду точок. Потрібно визначити, чи є між ними суттєва різниця, що дозволяє сказати, що вони належать до різних видів. Питання можна переформулювати і так: чи належать ці вибірки до однієї генеральної сукупності, чи до різних?
— Чи впливає стать особин на довжину їх хвостів (тобто чи відрізняються особини різної статі за довжиною хвостів)? Інша формулювання проблеми: чи можна вважати, що значення даної ознаки у особин різної статі представляють собою вибірки з різних генеральних сукупностей (хвости самок і хвости самців) або їх можна розглядати як вибірку з однієї сукупності (хвости особин даного виду без урахування їх статі).
— Як впливає на певну ознаку якийсь фактор (наприклад, чи однакова виживаність експериментальних тварин у чистій воді і в суміші чистої води з водопровідною водою)? Чи є вибірки експериментальних тварин, що розвивалися у чистій і досліджуваній воді, вибірками з різних сукупностей?
— Чи покращує новий препарат стан хворих порівняно зі станом тих, хто, страждаючи тими ж захворюваннями, отримує традиційне лікування? Чи отримані вибірки хворих, яких лікували традиційно і новими методами, взяті з однієї чи різних генеральних сукупностей?
Отже, за складом вибірок слід зрозуміти, чи взяті вони з однієї генеральної сукупності чи з різних. Таке порівняння цілком відповідає жартівливому прикладу, використаному для обговорення поняття статистичної значущості у першій темі.

4.2. Порівняння вибірок за Ст'юдентом
У 1908 році англійський математик В. Госсет, який працював у пивній компанії і публікував свої роботи під псевдонімом Ст'юдент, описав функцію, за якою значення вибіркових середніх розподілені навколо значення середньої генеральної сукупності. Для великих вибірок розподіл вибіркових середніх має нормальний характер, а для малих вибірок – більш пологи.
Користуючись цією функцією, можна визначити, яка ймовірність того, що дві вибірки взяті з однієї генеральної сукупності. При цьому обчислюється t-критерій, або критерій Ст'юдента.  . У цій формулі в чисельнику знаходиться різниця середніх, а в знаменнику – помилка цієї різниці.
При рівності кількості об’єктів у вибірках (n1 = n2 = n) обчислення помилки різниці середніх виявляється відносно простішим, ніж у наступному випадку. Вона обчислюється як корінь з суми квадратів стандартних відхилень порівнюваних вибірок:
 .
Якщо чисельності порівнюваних вибірок різні, тоді  .
Для кожного числа ступенів свободи df (df = n1 + n2 - 2) критерій Ст'юдента приймає тим більше високі значення, чим суттєвіші відмінності між вибірками. Їх порівнюють з табличними значеннями і визначають рівень статистичної значущості зареєстрованих результатів.
Приклад такої таблиці:
Критичні значення t-критерію Ст'юдента при різних рівнях статистичної значущості

Число ступенів
вільності df

p

Число ступенів
вільності df

p

0,05

0,01

0,05

0,05

0,01

0,001

1

12,71

63,66

64,60

4

2,78

4,60

8,61

2

4,30

9,92

31,60

5

2,57

4,03

6,87

3

3,18

5,84

12,92

6

2,45

3,71

5,96

Отже, алгоритм «ручного» використання критерію Ст'юдента досить простий: для двох вибірок визначають їхні середні, обчислюється критерій Ст'юдента, а потім за таблицями (для відповідного числа ступенів свободи) визначається рівень статистичної значущості зареєстрованих відмінностей.
Завдяки своїй простоті критерій Ст'юдента став використовуватися дуже широко, значно ширше, ніж слід було б. Справа в тому, що по суті він вимагає, щоб порівнювані вибірки мали нормальний розподіл. У будь‑якому випадку, розібратися, як працює цей критерій, необхідно. Давайте порівняємо з його використанням довжину тіла самців і самок жаб, описаних у файлі Pelophylax_example.sta.
Щоб викликати один із варіантів аналізу вибірок з використанням критерію Ст'юдента, ми повинні пройти шляхом Statistics / Basic Statistics.

Рис. 4.2.1. Меню Statistics

Рис. 4.2.2. Меню Statistics / Basic Statistics
У меню Statistics / Basic Statistics треба вибрати підходящий варіант порівняння вибірок за критерієм Ст'юдента. У пропонованому вікні є чотири варіанти такого порівняння.
Варіанти застосування критерію Ст'юдента

Назва

Піктограма

Застосування

t-test, independent, by groups

Дві групи даних одна над іншою

Однотипні вимірювання в одному стовпці, розділені на групи значеннями в іншому стовпці

t-test, independent, by variables

Дві групи даних у сусідніх стовпцях, не обов’язково відповідні одна одній (можуть різнитися за чисельністю)

Вимірювання в двох різних стовпцях

t-test, dependent samples

Відповідні одна одній (рівної чисельності) дві групи даних у сусідніх стовпцях

Парні порівняння (наприклад, порівняння довжин правої і лівої руки у різних людей)

t-test, single sample

Окрема група даних

Відмінності середнього значення групи даних від якогось значення (наприклад, від 0)

Очевидно, наш випадок відповідає варіанту «t-test, independent, by groups». Зрозуміло, що Dependent variables (змінна або змінні, мінливість яких аналізується), це змінна L, а Grouping variable — змінна Sex, що містить ті значення, які розбивають значення змінної L на групи, що відповідають самкам і самцям.

Рис. 4.2.3. Діалог T-Test Independent Sample by Groups
При натисканні на кнопку Summary, розташовану у правому верхньому куті діалогу T-Test Independent Sample by Groups, програма відкриє окрему сторінку з результатами аналізу.

Рис. 4.2.4. Результат аналізу
Таблицю з результатами, показану на рис. 4.2.4, треба розглянути докладніше. Розглянемо всі її стовпці послідовно.
Variable— змінна, для якої подаються дані (якби ми вказали кілька Dependent variables, у таблиці було б кілька рядків).
Mean female— Середнє значення для першої вибірки.
Mean male— Середнє значення для другої вибірки.
t-value— Значення критерію Ст'юдента (для певної кількості ступенів свободи його можна порівняти з табличними значеннями).
df— Кількість ступенів свободи.
p— Рівень статистичної значущості відмінностей порівнюваних вибірок за критерієм Ст'юдента.
Valid N female— Чисельність першої вибірки.
Valid N male— Чисельність другої вибірки.
Std. Dev. female— Стандартне відхилення першої вибірки.
Std. Dev. male— Стандартне відхилення другої вибірки.
F-ratio Variances— Критерій Фішера: відношення більшої дисперсії (квадрата стандартного відхилення) до меншої дисперсії.
p Variances— Рівень статистичної значущості відмінностей порівнюваних вибірок за критерієм Фішера.
У пошукових біологічних дослідженнях прийнято, що підставою для прийняття альтернативної гіпотези (і відхилення нульової) є рівень статистичної значущості менший, ніж 0,05. Що це означає у випадку порівняння за критерієм Ст'юдента? Що такі відмінності середніх значень, як ті, що були зареєстровані, виникають випадково при формуванні вибірок не частіше, ніж з ймовірністю 0,05 (тобто не частіше, ніж в одному випадку з двадцяти). У нашому прикладі p=0,76. Це означає, що такі ж відмінності, як ті, що ми зареєстрували, виникають більш ніж у трьох чвертях випадків просто в результаті випадковості при формуванні вибірок. Такі відмінності статистично незначимі. Підстав для відхилення нульової гіпотези немає.
Чи означає це, що довжина тіла самок і самців зелених жаб не відрізняється? Ні. Насправді, на підставі аналізу значно ширших вибірок можна стверджувати, що самки зелених жаб крупніші самців. Однак у даному дослідженні, на розглянутому матеріалі відмінності виявилися статистично незначними. Збільшивши вибірку в кілька разів або розглядаючи більш однорідний матеріал (наприклад, представників одного і того ж генотипу з одного місця існування) ми, ймовірно, отримали б статистично значущі різниці.

4.3. Використання критерію Фішера для порівняння вибірок
Як ви бачите, результати проведеного нами порівняння вибірок, показані на рис. 4.3.4, включають також обчислення міри мінливості (стандартних відхилень) і критерію Фішера (відношення дисперсій). Цей критерій запропонований американським статистиком Джорджем Снедекором, який назвав його на честь Фішера. Це той самий критерій, який використовується в дисперсійному аналізі (розглянутому в наступній темі), проте в даному випадку він застосовується для інших цілей.
Перш за все, треба зрозуміти, з чим пов’язане використання критерію Фішера.

Рис. 4.3.1. Порівняння трьох розподілів. Розподіли 1 і 2 відрізняються за середніми значеннями, а 1 і 3 — за рівнем мінливості
Як уже було сказано, порівняння за Ст'юдентом — параметричний метод, який базується на припущенні, що сукупності, з яких отримані порівнювані вибірки, мають нормальний розподіл. Нормальні розподіли (см. пункт 1.5) задаються двома параметрами: :  (генеральним середнім) і   (генеральним стандартним відхиленням). Якщо два нормальних розподіли відрізняються один від одного, значить у них різняться або середні, або стандартні відхилення (або і те, і інше одночасно). Тому, щоб визначити ймовірність того, що порівнювані вибірки отримані з однієї генеральної сукупності, треба порівняти і їхні середні значення, і їхні міри мінливості.
У розглянутому нами прикладі рівень статистичної значущості відмінностей порівнюваних вибірок за критерієм Фішера також нижчий за критичний; p=0,86.

4.4. Діаграми розмаху в модулі t‑тесту
З вікна діалогу T-Test Independent Sample by Groups можна викликати не лише вікно з числовими результатами порівняння даних, а й графік, що дозволяє порівняти два розподіли. При натисканні на кнопку Box & whisker plot програма побудує наступну діаграму розмаху.

Рис. 4.4.1. Діаграма розмаху, побудована за даними про довжину тіла самок і самців жаб
Розшифровки позначень подані поруч з графіком. Точка посередині кожної «коробки» позначає середнє значення кожної вибірки, «стіни коробки» — середнє плюс‑мінус стандартну помилку (SE), а «вуса» — середнє плюс‑мінус SE, помножене на 1,96. Стандартна помилка (Standard Error) — міра мінливості, визначувана як  . Її використання не рекомендується сучасними рекомендаціями з статистики; чому в цьому модулі саме вона, не зовсім зрозуміло. Більш «якісною» мірою для оцінки мінливості досліджуваної величини є довірчий інтервал (обчислюваний для певного рівня статистичної значущості). Довірчий інтервал (Confidence intervals) показує межі, у яких з заданою ймовірністю знаходиться середнє генеральної сукупності, оцінюване за мінливістю взятої з цієї сукупності вибірки.
Щоб показати на діаграмі розмаху інші міри, ніж ті, що показані за замовчуванням, треба клацнути на графіку правою кнопкою миші, вибрати опцію Graph Properties (All Options)…, у відкритому вікні вибрати вкладку Plot: Box/Whisker, а там — кнопку More (захоплюючись тим, як глибоко сховані важливі налаштування).

Рис. 4.4.2. Редагування діаграми розмаху, побудованої за даними про довжину тіла самок і самців жаб
У відкритому вікні можна, наприклад, задати для коробки значення довірчого інтервалу, а для вусів — мінімальне і максимальне значення (не забувши при цьому змінити коефіцієнт 1,96, на який будуть множитися ці величини, замінивши його на 1).

Рис. 4.4.3. Остаточний варіант діаграми розмаху, що відображає порівняння самок і самців жаб за довжиною тіла